第3問

n

を正の整数とし、

a_1,a_2,\ldots,a_n

を正の実数とする。次を証明せよ。

\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.

ステップ 4/5: 積に沿って補題を連鎖させる

前のステップ次のステップ

A_i(a_i)+A_i(a_{i+1}\cdots a_n)\ge A_{i-1}(a_i\cdots a_n),\quad i=n,n-1,\ldots,1

詳しい解説

レベル $i$ の補題を組 $x=a_i$ 、 $y=a_{i+1}\cdots a_n$ （空積 $a_{n+1}\cdots a_n$ は $1$ とみなす）に対し、 $i=n,n-1,\ldots,1$ について適用する。これにより $n$ 個の不等式 $A_i(a_i)+A_i(a_{i+1}\cdots a_n)\ge A_{i-1}(a_i\cdots a_n)$ が得られ、レベル $i$ の右辺はレベル $i-1$ の不等式の左辺の第二項とちょうど一致する。