a0,…,at−1a_0,\ldots,a_{t-1}a0,…,at−1 は 0,…,t−10,\ldots,t-10,…,t−1 の順列なので、多重集合 {S(2ai)}i=0t−1\{S(2a_i)\}_{i=0}^{t-1}{S(2ai)}i=0t−1 は {S(2i)}i=0t−1\{S(2i)\}_{i=0}^{t-1}{S(2i)}i=0t−1 に等しく、∑i∣S(2ai)∣=∑i∣S(2i)∣\sum_i|S(2a_i)|=\sum_i|S(2i)|∑i∣S(2ai)∣=∑i∣S(2i)∣ となる。前の恒等式と合わせると ∑i(∣S(t+i)∣−∣S(2ai)∣)=t\sum_i\big(|S(t+i)|-|S(2a_i)|\big)=t∑i(∣S(t+i)∣−∣S(2ai)∣)=t を得る。第1段階よりこの ttt 個の項はそれぞれ少なくとも 111 なので、すべての項がちょうど 111 である:∣S(t+i)∣−∣S(2ai)∣=1|S(t+i)|-|S(2a_i)|=1∣S(t+i)∣−∣S(2ai)∣=1 がすべての iii で成り立つ。