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第5問

直線 ℓ\ell が円に内接する四角形 ABCDABCD の辺 BCBC と ADAD の内部の点 RR と SS をそれぞれ通り、点 CC を越えた半直線 DCDC 上の点 QQ、および点 AA を越えた半直線 BABA 上の点 PP を通るとする。三角形 QCRQCR と QDSQDS の外接円は点 N≠QN\neq Q で交わり、三角形 PASPAS と PBRPBR の外接円は点 M≠PM\neq P で交わるとする。直線 MPMP と NQNQ の交点を XX、直線 ABAB と CDCD の交点を KK、直線 BCBC と ADAD の交点を LL とする。点 XX が直線 KLKL 上にあることを証明せよ。
ステップ 1/6: M, N, P, Q は1つの円上にある
前のステップ次のステップ
M,N,P,Q are concyclicM,N,P,Q\text{ are concyclic}
詳しい解説

点 MM は P,S,A,R,BP,S,A,R,B の周りの配置における直線 ABAB、ℓ\ell、ADAD、BCBC のミケル点であり、NN は Q,R,C,S,DQ,R,C,S,D の周りにおける直線 CDCD、BCBC、ℓ\ell、ADAD のミケル点である。有向角と共円四角形 QNRCQNRC、PMASPMAS、ABCDABCD を用いると ∠NMP=∠NRQ+∠DAB=∠NRQ+∠QNR=∠NQP\angle NMP=\angle NRQ+\angle DAB=\angle NRQ+\angle QNR=\angle NQP が計算でき、よって M,N,Q,PM,N,Q,P は共円である。