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第5問

直線 ℓ\ell が円に内接する四角形 ABCDABCD の辺 BCBC と ADAD の内部の点 RR と SS をそれぞれ通り、点 CC を越えた半直線 DCDC 上の点 QQ、および点 AA を越えた半直線 BABA 上の点 PP を通るとする。三角形 QCRQCR と QDSQDS の外接円は点 N≠QN\neq Q で交わり、三角形 PASPAS と PBRPBR の外接円は点 M≠PM\neq P で交わるとする。直線 MPMP と NQNQ の交点を XX、直線 ABAB と CDCD の交点を KK、直線 BCBC と ADAD の交点を LL とする。点 XX が直線 KLKL 上にあることを証明せよ。
ステップ 3/6: NQ と KL の交点は円 E, M, N 上にある
T=NQ∩KL  ⟹  T∈(EMN)T=NQ\cap KL\implies T\in(EMN)
詳しい解説

T=NQ∩KLT=NQ\cap KL とする。円 (LAB)(LAB)(ミケル点の定義により EE と MM を含む)、(APS)(APS)(同じく MM を含む)、および第1段階の (MNQP)(MNQP) を用いると、有向角より ∠TEM=∠LEM=∠LAM=∠SAM=∠SPM=∠QPM=∠QNM=∠TNM\angle TEM=\angle LEM=\angle LAM=\angle SAM=\angle SPM=\angle QPM=\angle QNM=\angle TNM を得る。よって TT は円 ω=(EMN)\omega=(EMN) 上にあるか、T=ET=E の場合は KLKL が EE で ω\omega に接する。