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第5問

直線 ℓ\ell が円に内接する四角形 ABCDABCD の辺 BCBC と ADAD の内部の点 RR と SS をそれぞれ通り、点 CC を越えた半直線 DCDC 上の点 QQ、および点 AA を越えた半直線 BABA 上の点 PP を通るとする。三角形 QCRQCR と QDSQDS の外接円は点 N≠QN\neq Q で交わり、三角形 PASPAS と PBRPBR の外接円は点 M≠PM\neq P で交わるとする。直線 MPMP と NQNQ の交点を XX、直線 ABAB と CDCD の交点を KK、直線 BCBC と ADAD の交点を LL とする。点 XX が直線 KLKL 上にあることを証明せよ。
ステップ 5/6: 直線と円の交点は高々2点
前のステップ次のステップ
ω∩KL={T,V} or tangent at E  ⟹  T=V\omega\cap KL=\{T,V\}\text{ or tangent at }E\implies T=V
詳しい解説

直線 KLKL は円 ω=(EMN)\omega=(EMN) と高々2点で交わる。第3、4段階より TT と VV はどちらもこれらの交点に含まれる（EE 自体もその1つであり、接点である可能性もある）。T≠ET\neq E かつ V≠EV\neq E なら両者は同じ第二の交点でなければならず T=VT=V となる。どちらかが EE に等しければ、接することからもう一方も EE に等しくなる。いずれの場合も T=VT=V である。