MathLabs

第1問

円 Γ\Gamma に内接する鋭角三角形 ABCABC を考える。A1A_1 を AA から BCBC への正射影とし、AA1AA_1 が高さになるようにする。B1B_1 と C1C_1 をそれぞれ A1A_1 から ABAB と ACAC への正射影とする。点 PP は、四角形 AB1PC1AB_1PC_1 が凸であり、三角形 ABCABC と同じ面積を持つように取る。PP が円 Γ\Gamma の内部に真に存在することは可能か。理由とともに答えよ。
ステップ 1/5: 三角形 AB1C1 は ABC と相似
前のステップ次のステップ
AC1=AA1sin⁡C,AB1=AA1sin⁡B,B1C1=AA1sin⁡AAC_1=AA_1\sin C,\quad AB_1=AA_1\sin B,\quad B_1C_1=AA_1\sin A
詳しい解説

∠AA1B1=∠AA1C1=90∘\angle AA_1B_1=\angle AA_1C_1=90^\circ なので、点 B1,C1B_1,C_1 は直径 AA1AA_1 の円上にある。その円において AC1=AA1sin⁡∠AA1C1=AA1sin⁡(90∘−∠A1AC)=AA1sin⁡CAC_1=AA_1\sin\angle AA_1C_1=AA_1\sin(90^\circ-\angle A_1AC)=AA_1\sin C であり、同様に AB1=AA1sin⁡BAB_1=AA_1\sin B、B1C1=AA1sin⁡AB_1C_1=AA_1\sin A となる。したがって三角形 AC1B1AC_1B_1 は三角形 ABCABC と相似である。