アジア太平洋数学オリンピック · 2025年

問題

第1問円 $\Gamma$ に内接する鋭角三角形 $ABC$ を考える。 $A_1$ を $A$ から $BC$ への正射影とし、 $AA_1$ が高さになるようにする。 $B_1$ と $C_1$ をそれぞれ $A_1$ から $AB$ と $AC$ への正射影とする。点 $P$ は、四角形 $AB_1PC_1$ が凸であり、三角形 $ABC$ と同じ面積を持つように取る。 $P$ が円 $\Gamma$ の内部に真に存在することは可能か。理由とともに答えよ。解答: 1
第2問 $\alpha$ 、 $\beta$ を正の実数とする。エメラルドは座標平面上で原点 $(0,0)$ から旅を始める。毎分、彼女は上に1単位または右に1単位動き、座標平面の領域 $|x-y|<2025$ に自分を限定する。点 $(x,y)$ を訪れたとき、彼女はそこに整数 $\lfloor x\alpha+y\beta\rfloor$ を書き込む。エメラルドはすべての非負整数をちょうど1回ずつ書き込んだことが分かった。このような旅が可能となる $(\alpha,\beta)$ の組をすべて求めよ。解答: 1
第3問 $P(0)\neq0$ を満たす整数係数の非定数多項式 $P(x)$ を考える。 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ を、相異なる任意の正整数 $i,j$ に対して $P(i-j)$ が $a_i-a_j$ を割り切るような整数の無限数列とする。数列 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ は定数でなければならない、すなわちすべての正整数 $n$ について $a_n$ がある定数 $c$ に等しいことを証明せよ。解答: 1
第4問 $n\ge 3$ を満たす整数 n をとる。円周上に $n$ 個のマスがあり、それぞれに 0 または 1 が割り当てられ、1 羽の雄鶏がそのうちの 1 マスにいる。雄鶏が 0 のマスにいればその数を 1 に変えて反時計回りの次のマスへ進み、1 のマスにいればその数を 0 に変えて反時計回りに 1 マス飛ばした次のマスへ進む、という操作を繰り返す。十分多く操作した後では、雄鶏がマス $C$ にいるとき必ず円周をちょうど 3 周して再び $C$ で止まり、その 3 周の直前と直後で各マスの数が同じであることを証明せよ。解答: 1
第5問正の整数からなる無限数列 $a_1,a_2,\ldots$ が、 $m\le n$ を満たすすべての正整数 $m,n$ に対して $100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)$ が $a_{n-m+1}a_{n+m}$ の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数 $n$ に対して $a_n<N$ となる定数 $N$ が存在すること、線形とはすべての正整数 $n$ に対して $a_n=n\cdot a_1$ となることである。解答: 1