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第1問

円 Γ\Gamma に内接する鋭角三角形 ABCABC を考える。A1A_1 を AA から BCBC への正射影とし、AA1AA_1 が高さになるようにする。B1B_1 と C1C_1 をそれぞれ A1A_1 から ABAB と ACAC への正射影とする。点 PP は、四角形 AB1PC1AB_1PC_1 が凸であり、三角形 ABCABC と同じ面積を持つように取る。PP が円 Γ\Gamma の内部に真に存在することは可能か。理由とともに答えよ。
ステップ 2/5: A を通る直径は B1C1 に垂直
前のステップ次のステップ
AD⊥B1C1AD\perp B_1C_1
詳しい解説

OO を三角形 ABCABC の外心とし、ADAD を AA を通る Γ\Gamma の直径とする。OA=OCOA=OC より三角形 AOCAOC で ∠DAC=90∘−∠B\angle DAC=90^\circ-\angle B となる。第1段階より B1C1∥BCB_1C_1\parallel BC だから、AD⊥B1C1AD\perp B_1C_1 である。