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第1問

円 Γ\Gamma に内接する鋭角三角形 ABCABC を考える。A1A_1 を AA から BCBC への正射影とし、AA1AA_1 が高さになるようにする。B1B_1 と C1C_1 をそれぞれ A1A_1 から ABAB と ACAC への正射影とする。点 PP は、四角形 AB1PC1AB_1PC_1 が凸であり、三角形 ABCABC と同じ面積を持つように取る。PP が円 Γ\Gamma の内部に真に存在することは可能か。理由とともに答えよ。
ステップ 3/5: AB1DC1 はすでに求める面積を持つ
前のステップ次のステップ
[AB1DC1]=B1C1⋅AD2=AA1⋅BC2=[ABC][AB_1DC_1]=\frac{B_1C_1\cdot AD}{2}=\frac{AA_1\cdot BC}{2}=[ABC]
詳しい解説

AD=2RAD=2R とおく。正弦定理より BC=2Rsin⁡ABC=2R\sin A。B1C1=AA1sin⁡AB_1C_1=AA_1\sin A（第1段階）と AD⊥B1C1AD\perp B_1C_1（第2段階）から、凸四角形 AB1DC1AB_1DC_1 の面積は B1C1⋅AD2=AA1sin⁡A⋅2R2=AA1⋅BC2\frac{B_1C_1\cdot AD}{2}=\frac{AA_1\sin A\cdot 2R}{2}=\frac{AA_1\cdot BC}{2} であり、これはまさに底辺 BCBC、高さ AA1AA_1 から計算した三角形 ABCABC の面積である。