MathLabs

第1問

円 Γ\Gamma に内接する鋭角三角形 ABCABC を考える。A1A_1 を AA から BCBC への正射影とし、AA1AA_1 が高さになるようにする。B1B_1 と C1C_1 をそれぞれ A1A_1 から ABAB と ACAC への正射影とする。点 PP は、四角形 AB1PC1AB_1PC_1 が凸であり、三角形 ABCABC と同じ面積を持つように取る。PP が円 Γ\Gamma の内部に真に存在することは可能か。理由とともに答えよ。
ステップ 4/5: P の等面積軌跡
前のステップ次のステップ
{P:[AB1PC1]=[ABC]}=line through D parallel to B1C1\{P:[AB_1PC_1]=[ABC]\}=\text{line through }D\text{ parallel to }B_1C_1
詳しい解説

B1,C1B_1,C_1 が固定されているので、凸四角形 AB1PC1AB_1PC_1 の面積は PP から直線 B1C1B_1C_1 までの距離のアフィン関数である。したがって、この面積が [ABC][ABC] に等しくなる点 PP の軌跡は B1C1B_1C_1 に平行な直線である。第3段階より DD はすでにこの面積を達成しているので、その軌跡はまさに DD を通り B1C1B_1C_1 に平行な直線、すなわち DD を通り ADAD に垂直な直線である。