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第1問

円 Γ\Gamma に内接する鋭角三角形 ABCABC を考える。A1A_1 を AA から BCBC への正射影とし、AA1AA_1 が高さになるようにする。B1B_1 と C1C_1 をそれぞれ A1A_1 から ABAB と ACAC への正射影とする。点 PP は、四角形 AB1PC1AB_1PC_1 が凸であり、三角形 ABCABC と同じ面積を持つように取る。PP が円 Γ\Gamma の内部に真に存在することは可能か。理由とともに答えよ。
ステップ 5/5: 軌跡は D における接線
前のステップ次のステップ
locus=tangent to Γ at D  ⟹  P∉int⁡(Γ)\text{locus}=\text{tangent to }\Gamma\text{ at }D\implies P\notin\operatorname{int}(\Gamma)
詳しい解説

直径 ADAD に垂直で DD を通る直線は、まさに Γ\Gamma の DD における接線である。この接線上の他のすべての点は Γ\Gamma の外部に真に存在する。したがって第4段階で求めた PP の等面積軌跡は Γ\Gamma と DD でのみ接し、それ以外では外側にあるので、PP が Γ\Gamma の内部に真に存在することは決してない。答えは否である。