MathLabs

第2問

α\alpha、β\beta を正の実数とする。エメラルドは座標平面上で原点 (0,0)(0,0) から旅を始める。毎分、彼女は上に1単位または右に1単位動き、座標平面の領域 ∣x−y∣<2025|x-y|<2025 に自分を限定する。点 (x,y)(x,y) を訪れたとき、彼女はそこに整数 ⌊xα+yβ⌋\lfloor x\alpha+y\beta\rfloor を書き込む。エメラルドはすべての非負整数をちょうど1回ずつ書き込んだことが分かった。このような旅が可能となる (α,β)(\alpha,\beta) の組をすべて求めよ。
ステップ 2/6: 領域が x_n を制限する
前のステップ次のステップ
zn=⌊nβ+xn(α−β)⌋,n−20252<xn<n+20252z_n=\lfloor n\beta+x_n(\alpha-\beta)\rfloor,\qquad \frac{n-2025}{2}<x_n<\frac{n+2025}{2}
詳しい解説

nn 分にエメラルドが記録する整数を znz_n とする。第1段階の yn=n−xny_n=n-x_n を用いると zn=⌊xnα+ynβ⌋=⌊nβ+xn(α−β)⌋z_n=\lfloor x_n\alpha+y_n\beta\rfloor=\lfloor n\beta+x_n(\alpha-\beta)\rfloor となる。制約 ∣xn−yn∣<2025|x_n-y_n|<2025 は ∣2xn−n∣<2025|2x_n-n|<2025、すなわち n−20252<xn<n+20252\frac{n-2025}{2}<x_n<\frac{n+2025}{2} となる。