第3問

P(0)\neq0

を満たす整数係数の非定数多項式

P(x)

を考える。

a_1,a_2,a_3,\ldots

を、相異なる任意の正整数

i,j

に対して

P(i-j)

が

a_i-a_j

を割り切るような整数の無限数列とする。数列

a_1,a_2,a_3,\ldots

は定数でなければならない、すなわちすべての正整数

n

について

a_n

がある定数

c

に等しいことを証明せよ。

ステップ 1/5: P(k) と k の最大公約数を評価する

\gcd(P(k),k)=\gcd(a_0,k)\le|a_0|,\qquad a_0=P(0)

詳しい解説

$a_0=P(0)\neq0$ を $P$ の定数項とする。 $P$ は整数係数を持つので $P(k)-a_0$ は $k$ で割り切れ、任意の正整数 $k$ について $\gcd(P(k),k)=\gcd(a_0,k)\le|a_0|$ が成り立つ。