第3問

このような組 $(p,k)$ に対し、$P(k)\mid a_{i+k}-a_i$ が任意の $i$ で成り立つので $p\mid a_{i+k}-a_i$ である。$(k+p)-k=p$ なので整数係数多項式は $P(k+p)\equiv P(k)\equiv0\pmod p$ を満たし、$p\mid P(k+p)$ となる。これにより任意の $i$ について $p\mid a_{i+k+p}-a_i$ も成り立つ。