MathLabs

第5問

正の整数からなる無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots が、m≤nm\le n を満たすすべての正整数 m,nm,n に対して 100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) が an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数 nn に対して an<Na_n<N となる定数 NN が存在すること、線形とはすべての正整数 nn に対して an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1 となることである。
ステップ 1/10: 和と差の整除関係を取り出す
前のステップ次のステップ
c=100!,ar+s∣c(ar+as),ar−s∣c(ar−as) (r>s)c=100!,\qquad a_{r+s}\mid c(a_r+a_s),\qquad a_{r-s}\mid c(a_r-a_s)\ (r>s)
詳しい解説

c=100!c=100! とおく。元の整除条件からまず、この段階に表示した二つの線形な整除関係を得る。すべての項を割り切る共通因子があれば全項をそれで割るが、ここで得た二つの整除関係は保たれる。したがって正規化した数列の最大公約数を 11 と仮定し、最後に共通因子を戻せる。s≥r+2s\ge r+2 のとき [r,s][r,s] と [r+1,s−1][r+1,s-1] の条件を比較すると ar+s∣c(ar+as)a_{r+s}\mid c(a_r+a_s) を得る。s=rs=r と s=r+1s=r+1 も同じ結論を直接与える。[s,r−1][s,r-1] と [s+1,r][s+1,r] を比較すれば、r>sr>s で ar−s∣c(ar−as)a_{r-s}\mid c(a_r-a_s) も得られる。