第5問

正の整数からなる無限数列

a_1,a_2,\ldots

が、

m\le n

を満たすすべての正整数

m,n

に対して

100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)

が

a_{n-m+1}a_{n+m}

の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数

n

に対して

a_n<N

となる定数

N

が存在すること、線形とはすべての正整数

n

に対して

a_n=n\cdot a_1

となることである。

ステップ 2/10: 大きな最小公倍数は加法性を強制する

前のステップ次のステップ

L=\operatorname{lcm}(a_r,a_s,a_{r+s})\mid c(a_{r+s}-a_r-a_s),\qquad L_{r,s}:=\operatorname{lcm}(a_r,a_s)>c^2(a_r+a_s)\Rightarrow a_{r+s}=a_r+a_s

詳しい解説

第1段階の関係から、 $c(a_{r+s}-a_r-a_s)$ は $a_r$ 、 $a_s$ 、 $a_{r+s}$ のそれぞれで割り切れ、したがって $L=\operatorname{lcm}(a_r,a_s,a_{r+s})$ で割り切れる。また $a_{r+s}\le c(a_r+a_s)$ である。 $L_{r,s}>c^2(a_r+a_s)$ なら、合同な正数 $ca_{r+s}$ と $c(a_r+a_s)$ はともに $L_{r,s}$ より小さいため等しく、 $a_{r+s}=a_r+a_s$ を得る。