第5問

正の整数からなる無限数列

a_1,a_2,\ldots

が、

m\le n

を満たすすべての正整数

m,n

に対して

100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)

が

a_{n-m+1}a_{n+m}

の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数

n

に対して

a_n<N

となる定数

N

が存在すること、線形とはすべての正整数

n

に対して

a_n=n\cdot a_1

となることである。

ステップ 3/10: 等差数列上で加法性を伝播する

前のステップ次のステップ

a_{km+n}=ka_m+a_n,\qquad a_{m+kn}=a_m+ka_n\quad(k\ge1)

詳しい解説

$L_{m,n}>c^2(a_m+a_n)$ とし、 $x=a_m$ 、 $y=a_n$ と書く。第2段階より $a_{m+n}=x+y$ 。さらに $\operatorname{lcm}(x,x+y)=\operatorname{lcm}(x,y)(x+y)/y>c^2(2x+y)$ であり、 $x,y$ を交換した不等式も成り立つ。したがって第2段階を繰り返し適用でき、すべての $k\ge1$ について $a_{km+n}=ka_m+a_n$ および $a_{m+kn}=a_m+ka_n$ を得る。