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第5問

正の整数からなる無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots が、m≤nm\le n を満たすすべての正整数 m,nm,n に対して 100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) が an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数 nn に対して an<Na_n<N となる定数 NN が存在すること、線形とはすべての正整数 nn に対して an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1 となることである。
ステップ 4/10: 選んだ2項は添字に比例する
前のステップ次のステップ
man=nam,d=gcd⁡(m,n),am=mdt,an=ndtma_n=na_m,\qquad d=\gcd(m,n),\qquad a_m=\frac md t,\quad a_n=\frac nd t
詳しい解説

第3段階の2式は同じ項を計算するので、an+(n+1)m=am+(m+1)na_{n+(n+1)m}=a_{m+(m+1)n} である。ゆえに man=namma_n=na_m。d=gcd⁡(m,n)d=\gcd(m,n) とし、dd で割った後の互いに素であることから、ある整数 t>0t>0 が存在して am=(m/d)ta_m=(m/d)t、an=(n/d)ta_n=(n/d)t となる。