MathLabs

第5問

正の整数からなる無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots が、m≤nm\le n を満たすすべての正整数 m,nm,n に対して 100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) が an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数 nn に対して an<Na_n<N となる定数 NN が存在すること、線形とはすべての正整数 nn に対して an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1 となることである。
ステップ 5/10: 添字が d の倍数である項を決定する
前のステップ次のステップ
akd=kt(k≥1)a_{kd}=kt\quad(k\ge1)
詳しい解説

Rm−Sn=kdRm-Sn=kd を満たす正の R,SR,S を任意に大きく選び、x=n+(R+1)mx=n+(R+1)m、y=m+(S+1)ny=m+(S+1)n とおく。すると x−y=kdx-y=kd であり、第3段階から ax=(t/d)xa_x=(t/d)x、ay=(t/d)ya_y=(t/d)y。ax=ay+kda_x=a_{y+kd} は c(ay+akd)c(a_y+a_{kd}) を割り切るので、c(akd−tk)c(a_{kd}-tk) も割り切る。R,SR,S を大きくすれば axa_x はいくらでも大きくなるから、akd=tka_{kd}=tk である。