第5問

正の整数からなる無限数列

a_1,a_2,\ldots

が、

m\le n

を満たすすべての正整数

m,n

に対して

100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)

が

a_{n-m+1}a_{n+m}

の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数

n

に対して

a_n<N

となる定数

N

が存在すること、線形とはすべての正整数

n

に対して

a_n=n\cdot a_1

となることである。

ステップ 6/10: 直前の項は非有界である

前のステップ次のステップ

a_{kd}=kt\Longrightarrow a_{kd-1}\text{ is unbounded}

詳しい解説

第5段階より $a_{kd}=kt$ は無限大に向かう。しかし第1段階により $a_{kd}=a_{1+(kd-1)}$ は $c(a_1+a_{kd-1})$ を割り切るので、 $k$ を動かすと $a_{kd-1}$ は非有界である。