MathLabs

第5問

正の整数からなる無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots が、m≤nm\le n を満たすすべての正整数 m,nm,n に対して 100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) が an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数 nn に対して an<Na_n<N となる定数 NN が存在すること、線形とはすべての正整数 nn に対して an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1 となることである。
ステップ 7/10: 大きな最小公倍数を持つ組は数列全体を線形にする
前のステップ次のステップ
lcm⁡(apd,akd−1)>c2(apd+akd−1),gcd⁡(pd,kd−1)=1⟹aj=ja1\operatorname{lcm}(a_{pd},a_{kd-1})>c^2(a_{pd}+a_{kd-1}),\qquad \gcd(pd,kd-1)=1\Longrightarrow a_j=ja_1
詳しい解説

b=akd−1>c2tb=a_{kd-1}>c^2t となるよう kk を選び、p>bp>b かつ p∤(kd−1)p\nmid(kd-1) を満たし、さらに pb>c2(pt+b)pb>c^2(pt+b) となる十分大きな素数を選ぶ。apd=pta_{pd}=pt なので lcm⁡(apd,b)≥pb\operatorname{lcm}(a_{pd},b)\ge pb、したがって第2段階を適用できる。(pd,kd−1)(pd,kd-1) の最大公約数は 11 である（gcd⁡(d,kd−1)=1\gcd(d,kd-1)=1 かつ p∤(kd−1)p\nmid(kd-1)）。よって第3–5段階から（正規化した数列で）すべての jj について aj=ja1a_j=j a_1 を得る。