MathLabs

第5問

正の整数からなる無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots が、m≤nm\le n を満たすすべての正整数 m,nm,n に対して 100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) が an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数 nn に対して an<Na_n<N となる定数 NN が存在すること、線形とはすべての正整数 nn に対して an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1 となることである。
ステップ 8/10: すべての最小公倍数が小さい場合を考える
前のステップ次のステップ
lcm⁡(ar,as)≤2c2max⁡(ar,as)for all r,s\operatorname{lcm}(a_r,a_s)\le 2c^2\max(a_r,a_s)\quad\text{for all }r,s
詳しい解説

残りはすべての組について lcm⁡(ar,as)≤c2(ar+as)\operatorname{lcm}(a_r,a_s)\le c^2(a_r+a_s) となる場合である。ar≤asa_r\le a_s なら lcm⁡(ar,as)=Mas\operatorname{lcm}(a_r,a_s)=Ma_s と書ける。このとき M≤2c2M\le2c^2、K=2c2K=2c^2 とおく。したがって任意の rr と、値が as≥ara_s\ge a_r である項 ss について、商 ar/gcd⁡(ar,as)a_r/\gcd(a_r,a_s) は KK 以下である。