MathLabs

第5問

正の整数からなる無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots が、m≤nm\le n を満たすすべての正整数 m,nm,n に対して 100!(am+am+1+⋯+an)100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n) が an−m+1an+ma_{n-m+1}a_{n+m} の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数 nn に対して an<Na_n<N となる定数 NN が存在すること、線形とはすべての正整数 nn に対して an=n⋅a1a_n=n\cdot a_1 となることである。
ステップ 9/10: 大きな素数べきは十分大きい全項に残る
前のステップ次のステップ
pe>K2,pe∣ar⟹as≥ar⇒pe′∣as,pe′>K>cp^e>K^2,\quad p^e\mid a_r\Longrightarrow a_s\ge a_r\Rightarrow p^{e'}\mid a_s,\quad p^{e'}>K>c
詳しい解説

正規化した数列が非有界だと仮定する。するとある項 ara_r は pe>K2p^e>K^2 なる素数べきで割り切れる。そうでなければ、全項に現れる素数べきはすべて K2K^2 以下となり、現れ得る素数と指数は有限個なので、数列は有界になってしまう。値が as≥ara_s\ge a_r である任意の項では、商 ar/gcd⁡(ar,as)a_r/\gcd(a_r,a_s) は KK 以下だから、asa_s は pe′p^{e'} で割り切れ、pe′≥pe/K>Kp^{e'}\ge p^e/K>K。特に pvp(c)≤c<Kp^{v_p(c)}\le c<K なので e′>vp(c)e'>v_p(c) である。