第5問

正の整数からなる無限数列

a_1,a_2,\ldots

が、

m\le n

を満たすすべての正整数

m,n

に対して

100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)

が

a_{n-m+1}a_{n+m}

の倍数となるとする。この数列が有界または線形であることを証明せよ。数列が有界とは、すべての正整数

n

に対して

a_n<N

となる定数

N

が存在すること、線形とはすべての正整数

n

に対して

a_n=n\cdot a_1

となることである。

ステップ 10/10: 残る素因数は正規化と矛盾する

前のステップ次のステップ

a_n\mid c(a_{n+k}-a_k),\quad a_{n+k}\mid c(a_n+a_k)\Longrightarrow p\mid a_k\quad\forall k

詳しい解説

任意の $k$ を固定する。第1段階より $a_n\mid c(a_{n+k}-a_k)$ なので、非有界性から $n$ を選び、 $a_n$ と $a_{n+k}$ の両方が $a_r$ 以上となるようにできる（十分大きく選べば正性から差は正であり、実際 $a_{n+k}\ge a_n/c-a_k$ ）。したがって両方とも $p^{e'}$ で割り切れる。第1段階のもう一つの関係 $a_{n+k}\mid c(a_n+a_k)$ と $e'>v_p(c)$ から、 $p\mid a_k$ 。 $k$ は任意だから $p$ は全項を割り切り、正規化 $\gcd(a_1,a_2,\ldots)=1$ に矛盾する。ゆえにこの場合、数列は有界である。