第1問

$p=1$ のとき $a!=m^o+25$ であり、$a!\ge26$ から $a\ge5$、よって $5\mid m$。$o$ が偶数なら（$m$ は奇数なので）$m^o\equiv1\pmod4$ となり $a!\equiv2\pmod4$ となるが $a\ge5$ では不可能、よって $o$ は奇数で $o\ge3$。$5^3\mid m^o$ より $a!\equiv25\pmod{125}$ となり $10\le a\le14$ に限られるが、直接確認するとそのどの $a$ でも $5^3\nmid a!-25$ であり、$p=1$ は解を持たない。