第1問

$p=3$ のとき $a\ge3$ だが、$a=3$ では $a!-26<0$ となり $m^o>0$ に反するので、$a\ge4$ である。直接計算すると $a=4\Rightarrow m^o=4$ より $(m,o)=(2,2)$、$a=5\Rightarrow m^o=100$ より $(m,o)=(10,2)$。$a\ge6$ では $16\mid a!$ なので $m^o\equiv-20\equiv12\pmod{16}$ となり $m$ は偶数。$4\mid m$ または $o\ge3$ なら $8\mid m^o$ となり $m^o\equiv4\pmod8$ に反する。$m\equiv2\pmod4$ かつ $o=2$ なら $m^2\equiv4\pmod{16}$ なので $m^2+20\equiv8\pmod{16}\ne0\equiv a!\pmod{16}$。よって $a\ge6$ は不可能で、上の二つの解のみが残る。