第3問

正の実数全体の集合を

\mathbb{R}_+

と表す。すべての

x,y,z\in\mathbb{R}_+

に対して

|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.

を満たす関数

f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 1/5: 一次関数が条件を満たすことを確認し、等距離の規則を導く

前のステップ次のステップ

|x-y|=|z-y| \implies |f(x)-f(y)|=|f(z)-f(y)|

詳しい解説

$a\ne0$ の任意のアフィン関数 $f(x)=ax+b$ は明らかに条件を満たす。逆に $f$ が条件を満たすとする。両方向の対偶を取ると、距離の大小関係が保たれることが分かる。残る等号の場合から $|x-y|=|z-y|\implies|f(x)-f(y)|=|f(z)-f(y)|$ を得る。