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第3問

正の実数全体の集合を R+\mathbb{R}_+ と表す。すべての x,y,z∈R+x,y,z\in\mathbb{R}_+ に対して ∣x−y∣<∣y−z∣ if and only if ∣f(x)−f(y)∣<∣f(y)−f(z)∣.|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|. を満たす関数 f:R+→Rf:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R} をすべて求めよ。
ステップ 2/5: ff は単射である
前のステップ次のステップ
f(x)=f(y), y≠z  ⟹  ∣f(x)−f(y)∣=0<∣f(y)−f(z)∣, taking x=y gives a contradictionf(x)=f(y),\ y\ne z \implies |f(x)-f(y)|=0<|f(y)-f(z)|,\ \text{taking }x=y\text{ gives a contradiction}
詳しい解説

ある y≠zy\ne z に対して f(y)=f(z)f(y)=f(z) と仮定する。x=yx=y とおくと左辺は 0<∣y−z∣0<|y-z| なので、条件より ∣f(x)−f(y)∣<∣f(y)−f(z)∣|f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)| が必要である。しかし f(y)=f(z)f(y)=f(z) なら両辺とも 00 となり矛盾する。したがって関数は単射である。