第3問

正の実数全体の集合を

\mathbb{R}_+

と表す。すべての

x,y,z\in\mathbb{R}_+

に対して

|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.

を満たす関数

f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}

をすべて求めよ。

ステップ 3/5: 中点性質を導く

前のステップ次のステップ

y=\tfrac{x+z}{2} \implies |y-x|=|y-z| \implies |f(x)-f(y)|=|f(y)-f(z)| \implies f(y)=\tfrac{f(x)+f(z)}{2}

詳しい解説

$x\ne z$ に対して $y=\tfrac{x+z}{2}$ とおくと $|y-x|=|y-z|$ となる。ステップ1より $|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(z)|$ 。 $f(x)\ne f(z)$ なので、 $f(x),f(y),f(z)$ のうちちょうど一つが残り二つの間にあり、単射性と合わせて $f(y)=\tfrac{f(x)+f(z)}{2}$ が導かれる。