MathLabs

第3問

正の実数全体の集合を R+\mathbb{R}_+ と表す。すべての x,y,z∈R+x,y,z\in\mathbb{R}_+ に対して ∣x−y∣<∣y−z∣ if and only if ∣f(x)−f(y)∣<∣f(y)−f(z)∣.|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|. を満たす関数 f:R+→Rf:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R} をすべて求めよ。
ステップ 4/5: ff は単調である
前のステップ次のステップ
∃ y<x<z: sign(f(x)−f(y))≠sign(f(z)−f(x))  ⟹  ∣f(y)−f(z)∣<max⁡(∣f(x)−f(y)∣,∣f(z)−f(x)∣)\exists\, y<x<z:\ \text{sign}(f(x)-f(y))\ne \text{sign}(f(z)-f(x)) \implies |f(y)-f(z)|<\max(|f(x)-f(y)|,|f(z)-f(x)|)
詳しい解説

ff が単調でないとすると、y<x<zy<x<z が存在して f(x)−f(y)f(x)-f(y) と f(z)−f(x)f(z)-f(x) が異符号となる。このとき ∣f(y)−f(z)∣<max⁡(∣f(x)−f(y)∣,∣f(z)−f(x)∣)|f(y)-f(z)|<\max(|f(x)-f(y)|,|f(z)-f(x)|) である一方、(y,x,z)(y,x,z) をそれぞれ (x,y,z)(x,y,z) の役割とした仮定から ∣f(y)−f(z)∣>max⁡(∣f(x)−f(y)∣,∣f(z)−f(x)∣)|f(y)-f(z)|>\max(|f(x)-f(y)|,|f(z)-f(x)|) が得られ、矛盾する。よって ff は単調である。