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第3問

正の実数全体の集合を R+\mathbb{R}_+ と表す。すべての x,y,z∈R+x,y,z\in\mathbb{R}_+ に対して ∣x−y∣<∣y−z∣ if and only if ∣f(x)−f(y)∣<∣f(y)−f(z)∣.|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|. を満たす関数 f:R+→Rf:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R} をすべて求めよ。
ステップ 5/5: 正規化し稠密性で ff を確定する
前のステップ次のステップ
f(1)=1,f(2)=2  ⟹  f ⁣(n2k)=n2k ∀n∈Z>0,k≥0  ⟹  f(x)=x ∀x∈R+f(1)=1,f(2)=2 \implies f\!\left(\tfrac{n}{2^k}\right)=\tfrac{n}{2^k}\ \forall n\in\mathbb{Z}_{>0},k\ge0 \implies f(x)=x\ \forall x\in\mathbb{R}_+
詳しい解説

ff は単射なので f(2)≠f(1)f(2)\ne f(1) である。g(x)=1+(f(x)−f(1))/(f(2)−f(1))g(x)=1+(f(x)-f(1))/(f(2)-f(1)) と定める。値域のアフィン変換は条件を保つので、gg も条件を満たし g(1)=1,g(2)=2g(1)=1,g(2)=2 となる。中点性質を繰り返し適用すると、任意の正整数 nn と k≥0k\ge0 に対し g(n/2k)=n/2kg(n/2^k)=n/2^k。これらは R+\mathbb R_+ に稠密だから単調性より g(x)=xg(x)=x であり、正規化を戻せば元の関数は f(x)=ax+bf(x)=ax+b の形である。