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第4問

四角形 ABCDABCD が内接円 ω\omega(中心 II)を持つとする。対角線 ACAC と BDBD は点 EE で交わる。ABDABD の内心を JJ とする。半直線 EJEJ の延長が ω\omega と交わる点を PP とする。PI⊥BDPI\perp BD を証明せよ。
ステップ 6/6: PI⊥BDPI \perp BD を結論づける
E,J,P′ collinear  ⟹  P=P′  ⟹  PI=P′I∥(diameter P′Q⊥BD)  ⟹  PI⊥BDE,J,P'\text{ collinear} \implies P=P' \implies PI=P'I\parallel\text{(diameter }P'Q\perp BD) \implies PI\perp BD
詳しい解説

ステップ5より EE、JJ、P′P' は共線であるから、半直線 EJEJ の延長は ω\omega とちょうど P′P' で交わる。すなわち P=P′P=P' である。P′P' は P′QP'Q が ω\omega の BDBD に垂直な直径となるように選ばれていたので、線分 PIPI はこの直径上にあり、したがって PI⊥BDPI\perp BD が成り立つ。