MathLabs

第2問

平方根を常に非負とし、A=2A=\sqrt2、A=1A=1、A=2A=2 のそれぞれについて、x+2x−1+x−2x−1=A\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A を満たす実数 xx を求めよ。
ステップ 2/4: 一度平方して簡単にする
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの外側の根号の積は x2−(2x−1)=∣x−1∣\sqrt{x^2-(2x-1)}=|x-1| である。

2x+2(x−1)2=A2⟹2x+2∣x−1∣=A22x+2\sqrt{(x-1)^2}=A^2\Longrightarrow2x+2|x-1|=A^2
詳しい解説

元の方程式を平方すると 2x+2(x+2x−1)(x−2x−1)=A22x+2\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})(x-\sqrt{2x-1})}=A^2。残った根号内の積は (x−1)2(x-1)^2 だから、2x+2∣x−1∣=A22x+2|x-1|=A^2 となる。