MathLabs

第5問

線分 ABAB の内部に任意の点 MM をとる。ABAB の同じ側に正方形 AMCDAMCD と MBEFMBEF を作り、それぞれの外接円の中心を PP と QQ とする。二つの外接円のもう一つの交点を NN とする。N′N' を直線 AFAF と BCBC の交点とする。(a) N=N′N=N' を証明せよ。(b) MM に依存しない固定点を MNMN が通ることを証明せよ。(c) MM が動くとき、PQPQ の中点の軌跡を求めよ。
ステップ 1/5: 合同な直角三角形を用いる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの正方形により、MM の周りの二つの部分は合同な直角三角形になる。

△AFM≅△CBM⟹∠AN′B=90∘\triangle AFM\cong\triangle CBM\quad\Longrightarrow\quad\angle AN'B=90^\circ
詳しい解説

AM=CMAM=CM、MB=MFMB=MF であり、正方形による直角もあるので、三角形 AFMAFM と CBMCBM は合同である。したがって ABAB となす二つの角は余角であり、N′=AF∩BCN'=AF\cap BC では ∠AN′B=90∘\angle AN'B=90^\circ となる。