第5問

線分

AB

の内部に任意の点

M

をとる。

AB

の同じ側に正方形

AMCD

と

MBEF

を作り、それぞれの外接円の中心を

P

と

Q

とする。二つの外接円のもう一つの交点を

N

とする。

N'

を直線

AF

と

BC

の交点とする。(a)

N=N'

を証明せよ。(b)

M

に依存しない固定点を

MN

が通ることを証明せよ。(c)

M

が動くとき、

PQ

の中点の軌跡を求めよ。

ステップ 3/5: 動点と

N

の比を関係づける

\frac{AM}{MB}=\frac{CM}{MB}=\frac{AN}{NB}

詳しい解説

三角形 $ABN$ と $BCM$ は、 $B$ の角を共有し、ともに直角をもつので相似である。したがって $AM/MB=CM/MB=AN/NB$ 、ゆえに $MN$ は $\angle ANB$ の二等分線である。