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第2問

不等式 4x2(1−1+2x)2<2x+9\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2} < 2x+9 が成り立つのはどのような実数 xx に対してか。
ステップ 4/5: 共通因子を約分して簡単にする
(a+1)2<a2+8  ⟺  a<72(a+1)^2 < a^2+8 \iff a<\dfrac72
詳しい解説

(a2−1)2=(a−1)2(a+1)2(a^2-1)^2=(a-1)^2(a+1)^2 であり、分母は (1−a)2=(a−1)2(1-a)^2=(a-1)^2、また a≠1a\neq1 より (a−1)2≠0(a-1)^2\neq0 なので、分子・分母を (a−1)2(a-1)^2 で割ると (a+1)2<a2+8(a+1)^2<a^2+8 が残る。展開すると a2+2a+1<a2+8a^2+2a+1<a^2+8、すなわち 2a<72a<7、すなわち a<72a<\tfrac72 となる。