MathLabs

第3問

直角三角形 ABCABC の斜辺 BCBC の長さを aa とし、nn 個の等しい部分(nn は奇数)に分ける。その中央の部分が AA で張る角を α\alpha とする。AA から BCBC への垂直距離を hh とするとき、tan⁡α=4nha(n2−1)\tan\alpha=\dfrac{4nh}{a(n^2-1)} を証明せよ。
ステップ 1/5: 中点と中央部分の端点を置く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

選んだ部分を MM のまわりに置けば、高度の足が MM と一致しなくても端点は対称になる。

M is the midpoint of BC,P=M−a2n,Q=M+a2nM\text{ is the midpoint of }BC,\quad P=M-\dfrac{a}{2n},\quad Q=M+\dfrac{a}{2n}
詳しい解説

nn は奇数なので、等分部分の一つが BCBC の中点 MM を中心とする。その端点 P,QP,Q は BCBC 上で MP=−a/(2n)MP=-a/(2n)、MQ=a/(2n)MQ=a/(2n) という符号付き距離にあり、PQ=a/nPQ=a/n である。