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第3問

直角三角形 ABCABC の斜辺 BCBC の長さを aa とし、nn 個の等しい部分(nn は奇数)に分ける。その中央の部分が AA で張る角を α\alpha とする。AA から BCBC への垂直距離を hh とするとき、tan⁡α=4nha(n2−1)\tan\alpha=\dfrac{4nh}{a(n^2-1)} を証明せよ。
ステップ 2/5: 符号付き距離に正接の差の公式を適用する
前のステップ次のステップ
tan⁡α=AH⋅PQAH2+(QH)(PH)=h(a/n)h2+(QH)(PH)\tan\alpha=\frac{AH\cdot PQ}{AH^2+(QH)(PH)}=\frac{h(a/n)}{h^2+(QH)(PH)}
詳しい解説

HH を AA から BCBC への垂線の足とし、AH=hAH=h とする。APAP と AQAQ が AHAH となす角の符号付き正接はそれぞれ PH/AHPH/AH、QH/AHQH/AH である。その差が α\alpha なので、正接の差の公式から tan⁡α=AH⋅(QH−PH)/(AH2+QH⋅PH)=AH⋅PQ/(AH2+QH⋅PH)\tan\alpha=AH\cdot(QH-PH)/(AH^2+QH\cdot PH)=AH\cdot PQ/(AH^2+QH\cdot PH) を得る。