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第3問

直角三角形 ABCABC の斜辺 BCBC の長さを aa とし、nn 個の等しい部分(nn は奇数)に分ける。その中央の部分が AA で張る角を α\alpha とする。AA から BCBC への垂直距離を hh とするとき、tan⁡α=4nha(n2−1)\tan\alpha=\dfrac{4nh}{a(n^2-1)} を証明せよ。
ステップ 5/5: 整理して求める等式を得る
前のステップ次のステップ
tan⁡α=ah/na2/4−a2/(4n2)=4nha(n2−1)\tan\alpha=\frac{a h/n}{a^2/4-a^2/(4n^2)}=\frac{4nh}{a(n^2-1)}
角度の例:二等辺直角三角形の a=2,h=1,n=3a=2,h=1,n=3 では公式から tan⁡α=3/4\tan\alpha=3/4 となる。
最終的な正接公式の数値例として36.87度の角を示す単位円の図。
詳しい解説

PQ=a/nPQ=a/n、AH=hAH=h、ステップ3の積、h2+MH2=a2/4h^2+MH^2=a^2/4 をステップ2へ代入する。分母は a2/4−a2/(4n2)=a2(n2−1)/(4n2)a^2/4-a^2/(4n^2)=a^2(n^2-1)/(4n^2) となるので、tan⁡α=4nh/[a(n2−1)]\tan\alpha=4nh/[a(n^2-1)] である。