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第5問

立方体 ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' で AA は A′A' の真上、BB は B′B' の真上などとする。XX を面対角線 ACAC 上の任意の点、YY を B′D′B'D' 上の任意の点とする。(a) XYXY の中点の軌跡を求めよ。(b) ZY=2XZZY=2XZ となるような XYXY 上の点 ZZ の軌跡を求めよ。
ステップ 3/5: 中点の軌跡を求める
前のステップ次のステップ
M=X+Y2=(t+1−s2,t+s2,12)M=\dfrac{X+Y}{2}=\left(\dfrac{t+1-s}{2},\dfrac{t+s}{2},\dfrac12\right)
詳しい解説

中点 MM は常に z=1/2z=1/2 である。他の座標は t,st,s のアフィン関数である。具体的には Mx+My=1/2+tM_x+M_y=1/2+t は [1/2,3/2][1/2,3/2]、Mx−My=1/2−sM_x-M_y=1/2-s は [−1/2,1/2][-1/2,1/2] を動く。従って MM は中間平面内の一辺 1/21/\sqrt2 の正方形を埋め尽くし、その頂点は4つの側面の中点である。