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第6問

回転円錐に、その底面と側面に接する内接球がある。その球に外接する円柱を、底面が円錐の底面内にあるように置く。円錐と円柱の体積をそれぞれ V1V_1 と V2V_2 とする。(a) V1≠V2V_1\ne V_2 を証明せよ。(b) V1/V2V_1/V_2 の最小値を求め、その場合の円錐の半頂角を作図せよ。
ステップ 1/4: 接触条件から円錐の寸法を表す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

球の半径が自然な尺度となり、形を決めるパラメータは半頂角だけになる。

VO=r(1+1sin⁡θ),R=r(1+1sin⁡θ)tan⁡θVO=r\left(1+\dfrac1{\sin\theta}\right),\quad R=r\left(1+\dfrac1{\sin\theta}\right)\tan\theta
詳しい解説

VV を頂点、OO を球の中心、XX を円錐底面の中心、rr を球の半径とする。軸断面の直角三角形で、球が側面に接するので VO=r/sin⁡θVO=r/\sin\theta、底面に接するので OX=rOX=r。したがって高さは H=VX=r(1+1/sin⁡θ)H=VX=r(1+1/\sin\theta)、底面半径は R=Htan⁡θR=H\tan\theta である。