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第6問

回転円錐に、その底面と側面に接する内接球がある。その球に外接する円柱を、底面が円錐の底面内にあるように置く。円錐と円柱の体積をそれぞれ V1V_1 と V2V_2 とする。(a) V1≠V2V_1\ne V_2 を証明せよ。(b) V1/V2V_1/V_2 の最小値を求め、その場合の円錐の半頂角を作図せよ。
ステップ 2/4: 体積比を計算する
前のステップ次のステップ
V2=2πr3,V1V2=(1+s)36s(1−s2),s=sin⁡θV_2=2\pi r^3,\quad \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{(1+s)^3}{6s(1-s^2)},\quad s=\sin\theta
詳しい解説

球に外接する円柱は半径 rr、高さ 2r2r なので V2=2πr3V_2=2\pi r^3。s=sin⁡θs=\sin\theta、cos⁡2θ=1−s2\cos^2\theta=1-s^2 とおき、HH と RR を V1=13πR2HV_1=\tfrac13\pi R^2H に代入すると、V1/V2=(1+s)3/[6s(1−s2)]V_1/V_2=(1+s)^3/[6s(1-s^2)]、0<s<10<s<1 を得る。