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第6問

回転円錐に、その底面と側面に接する内接球がある。その球に外接する円柱を、底面が円錐の底面内にあるように置く。円錐と円柱の体積をそれぞれ V1V_1 と V2V_2 とする。(a) V1≠V2V_1\ne V_2 を証明せよ。(b) V1/V2V_1/V_2 の最小値を求め、その場合の円錐の半頂角を作図せよ。
ステップ 3/4: 下限を証明し、V1 ≠ V2 を得る
前のステップ次のステップ
V1V2≥43  ⟺  (1+s)3≥8s(1−s2)\dfrac{V_1}{V_2}\ge\dfrac43\iff (1+s)^3\ge8s(1-s^2)
詳しい解説

0<s<10<s<1 では分母が正なので、V1/V2≥4/3V_1/V_2\ge4/3 は (1+s)3≥8s(1−s2)(1+s)^3\ge8s(1-s^2) と同値である。右辺を引くと 1−5s+3s2+9s3=(1−3s)2(1+s)≥01-5s+3s^2+9s^3=(1-3s)^2(1+s)\ge0。従って V1/V2≥4/3>1V_1/V_2\ge4/3>1 であり、V1≠V2V_1\ne V_2 も示される。