第6問

回転円錐に、その底面と側面に接する内接球がある。その球に外接する円柱を、底面が円錐の底面内にあるように置く。円錐と円柱の体積をそれぞれ

V_1

と

V_2

とする。(a)

V_1\ne V_2

を証明せよ。(b)

V_1/V_2

の最小値を求め、その場合の円錐の半頂角を作図せよ。

ステップ 4/4: 等号の場合と半頂角の作図

s=\sin\theta=\dfrac13\quad\Longrightarrow\quad\min\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac43

詳しい解説

等号は $1-3s=0$ のとき、すなわち $s=1/3$ のときに限り成立し、最小比は $4/3$ 。斜辺 $3$ 、対辺 $1$ の直角三角形を作図する。その対辺に対する鋭角は $\sin\theta=1/3$ なので、求める円錐の半頂角である。