MathLabs

第1問

実数の範囲で x+y+z=a,x2+y2+z2=b2,xy=z2x+y+z=a,\quad x^2+y^2+z^2=b^2,\quad xy=z^2 を解け。x,y,zx,y,z が互いに異なる正数となるための aa と bb の必要十分条件を求めよ。
ステップ 2/3: z の可能な値を全て求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

平方和の式は残った変数 z の二次方程式になる。

z=−a±2a2−b2,2a2−b2≥0z=-a\pm\sqrt{2a^2-b^2},\qquad 2a^2-b^2\ge0
詳しい解説

(x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2=x^2+y^2+2xy より (a−z)2−2z2=b2(a-z)^2-2z^2=b^2、すなわち z2+2az+b2−a2=0z^2+2az+b^2-a^2=0。従って実数解では z=−a±2a2−b2z=-a\pm\sqrt{2a^2-b^2} であり、根号内は非負である。