許される z ごとに x,y は一つの二次方程式の二根であり、判別式が実数性と相異性を決める。
ステップ2の各 z に対し、x,y は t2−(a−z)t+z2=0t^2-(a-z)t+z^2=0t2−(a−z)t+z2=0 の根なので表示式を得る。第二の不等式は x,y が実数となる条件そのものである。これで全ての実数解をパラメータ表示できる（a=b=0a=b=0a=b=0 の零解も含む）。x,y,z が相異なる正数であることを求めるなら、正性から a>0a>0a>0、∣b∣<a|b|<a∣b∣<a、相異性からさらに 3b2−a2>03b^2-a^2>03b2−a2>0。従って必要十分条件は a>0a>0a>0 かつ a/3<∣b∣<aa/\sqrt3<|b|<aa/3<∣b∣<a である。