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国際数学オリンピック
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1961年
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第2問
第2問
面積が
S
S
S
の三角形の辺の長さを
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
とする。
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
S
3
a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3}
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
S
3
を証明せよ。等号はどのような場合に成り立つか。
ステップ 3/6: 目標の比較を二乗する
前のステップ
次のステップ
4
S
3
=
3
(
4
b
2
c
2
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
2
)
4S\sqrt3=\sqrt{3(4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2)}
4
S
3
=
3
(
4
b
2
c
2
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
2
)
詳しい解説
面積は正なので両辺は非負である。したがって、上の等式を
3
3
3
倍した右辺の平方根以下でないことを
a
2
+
b
2
+
c
2
a^2+b^2+c^2
a
2
+
b
2
+
c
2
について示せばよい。
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