第2問

面積が

S

の三角形の辺の長さを

a,b,c

とする。

a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3}

を証明せよ。等号はどのような場合に成り立つか。

ステップ 4/6: 辺の二乗を新しい変数にする

A=a^2,\ B=b^2,\ C=c^2\quad\Longrightarrow\quad A+B+C\ge\sqrt{6AB+6BC+6CA-3A^2-3B^2-3C^2}

詳しい解説

$A=a^2,B=b^2,C=c^2$ を代入して根号内を展開すると、主張は上の不等式に帰着する。両辺は非負なので二乗してよい。