MathLabs

第3問

nn を与えられた正の整数として、方程式 cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1 を解け。
ステップ 3/6: 奇数 nn の上半周期を調べる
前のステップ次のステップ
n odd, x∈[0,π]:sin⁡nx≥0⟹cos⁡nx−sin⁡nx≤1n\text{ odd},\ x\in[0,\pi]:\quad \sin^n x\ge0\Longrightarrow\cos^n x-\sin^n x\le1
詳しい解説

nn 奇数で x∈[0,π]x\in[0,\pi] なら sin⁡x≥0\sin x\ge0、従って sin⁡nx≥0\sin^n x\ge0、cos⁡nx≤1\cos^n x\le1。等号が成り立つには sin⁡x=0\sin x=0、cos⁡x=1\cos x=1 が必要で、x=0x=0（2π2\pi 周期）だけである。