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第3問

nn を与えられた正の整数として、方程式 cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1 を解け。
ステップ 4/6: 第三象限を除外する
前のステップ次のステップ
x∈(π,3π/2):cos⁡nx−sin⁡nx=(−∣cos⁡x∣)n−(−∣sin⁡x∣)n<1x\in(\pi,3\pi/2):\quad \cos^n x-\sin^n x=(-\lvert\cos x\rvert)^n-(-\lvert\sin x\rvert)^n<1
詳しい解説

ここでは正弦と余弦がともに負である。u=∣sin⁡x∣u=|\sin x|、v=∣cos⁡x∣v=|\cos x| とおけば u,v∈(0,1)u,v\in(0,1)、u2+v2=1u^2+v^2=1。nn 奇数では式は un−vn<un<1u^n-v^n<u^n<1 なので開区間内に解はない。端点 x=3π/2x=3\pi/2 では等号が成り立つ。